Proposición 35

Enunciado

Si $(X,\mathcal{T})$ es un espacio metrizable, entonces $X$ es compacto si, y sólo si, $X$ es sucesionalmente compacto.

Demostración

$(⟹)$ Los espacios métricos son, en particular, espacios $1A\mathbb{N}$^[1]. Por lo que, suponiendo que $X$ es compacto, por la proposición 36, también será compacto por sucesiones.

$(⟸)$ Sucesionalmente compacto implica que, para todo $\delta >0$, $X$ se puede cubrir con un número finito de bolas de radio $\delta$. Si $\delta >0$ es el número de Lebesgue que da el Lema 10 de un cubrimiento abierto $A$; por tanto, ese número finito de bolas está contenido en un número finito de abiertos del cubrimiento, y por tanto, el espacio es compacto.